ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHE

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHE

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHEAbracadabra (in greco antico ἀβρακαδάβρα) è un vocabolo in uso nella magia mistica antica che nonostante le etimologie proposte è definito per se stesso inintelligibile. Viene considerata la parola universalmente più adottata fra quelle pronunciate senza traduzione nelle singole lingue”,

In questo testo è mia intenzione analizzare il simbolo esoterico dell’Abracadabra, focalizzando l’indagine sulla sua forma grafica:

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHEdove l’abracadabra crea un triangolo equilatero composto dalle sue lettere disposte in modo da scomporre e ricomporre la parola abracadabra, mentre sulle diagonali vengono sempre ripetuti gli stessi caratteri (aaaaaaa: bbbbbb: cccccc; ecc.).

Come nel caso della Vescica Piscis” e del ”Sator”, simboli esoterici precedentemente studiati nell’ambito della Geometria Sacra”, l’abracadabra racchiude in un solo segnosimbolo archetipico un notevole numero di significati comprensibili a diversi livelli di coscienza-consapevolezza.

In origine la parola utilizzata per formare il triangolo era un’altra, formata da caratteri diversi, in seguito fu sostituita da “abracadabra” contrazione del termine aramaico Avrah KaDabra che significa: “Io Creerò Come Parlo”. Questa funziona altrettanto bene essendo formata da 11 caratteri che si combinavano nel triangolo in modo analogo ma ha una potenza energetica e simbolica inferiore, più adatta a degli utilizzatori con un livello di consapevolezza limitato (meno potente e più sicura da utilizzare).

Nel corso della storia questo simbolo fu utilizzato per finalità apotropaiche e magiche (Link), ma in origine fu creato allo scopo di tramandare la scienza iniziatica codificando precisi rapporti matematici all’interno di simboli relativamente facili da riprodurre e da ricordare.

L’Entità RA conferma questa affermazione:

INTERVISTATORE: Il libro The Life Force Of The Great Pyramid [La forza vitale della grande piramide] mette in relazione la forma “Ankh” con una risonanza nella piramide. E’ un’analisi corretta?

RA: Sono Ra. … Vi è solo un significato in forme come la Crux Ansata, ossia il Collocamento Di Relazioni Matematiche In Forma Codificata.”

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHENel corso delle mie indagini ho potuto stabilire un collegamento fra il simbolo dell’abracadabra ed il “Triangolo di Tartaglia” (detto anche triangolo di “Pascal” o “Khayyàm” o “Yang Hui”), una particolare progressione aritmetica avente disposizione geometrica in forma di triangolo.

Questa costruzione numerica contiene nella sua forma una notevole quantità di informazioni matematiche che verranno successivamente illustrate in questo testo.

Ad un primo sguardo potrebbe sembrare che le due costruzioni geometriche abbiano in comune solo la forma del triangolo che le contiene.

Ma se noi capovolgiamo l’abracadabra

e collochiamo i caratteri che formano abracadabra in una diversa disposizione

abbiamo creato una figura geometrica che ci permette di visualizzare lo sviluppo delle potenze di un binomio.

Cercherò di spiegarmi meglio.

Posizionando la matita sulla A in cima al triangolo è possibile contare in quanti modi diversi si può formare la parola “Abracadabra” scendendo verso il basso, passando sempre da una lettera ad un’altra attigua.

All’inizio ci saranno due strade aperte: qualunque B selezioniate, ci saranno due diversi modi di procedere (due volte); qualunque R si selezioni, ci sono due modi di procedere (due volte due sono quattro); e così via fino alla fine.

Ogni lettera in ordine da A in giù può quindi essere raggiunta in 2, 4, 8, 16, 32, ecc, possibilità.

Pertanto, poiché ci sono dieci linee o passaggi in tutto da A verso il basso, ci sono 2¹⁰ possibilità di formare la parola abracadabra ovvero 1024 possibilità.

(Partendo dalla A in cima alla piramide ci saranno 2 possibilità di formare la parola AB sulla prima riga scendendo verso il basso e spostandosi verso la prima lettera sottostante; 4 possibilità di formare la parola ABR sulla seconda riga; 8 possibilità di formare la parola ABRA sulla terza riga; 16 possibilità di formare la parola ABRAC sulla terza riga; così via fino ad arrivare a 1024 (2¹⁰) possibilità di formare la parola ABRACADABRA sulla decima linea).

Allo stesso modo è possibile costruire il triangolo di Tartaglia

Ogni numero nel triangolo è la somma dei due numeri superiori

sommando i valori presenti in ogni riga possiamo trovare un numero che è una potenza del numero due in serie crescente, esempio:

nella riga di partenza abbiamo1= 2⁰=1

nella prima riga abbiamo1+1= 2¹=2

nella seconda riga abbiamo1+2+1= 2²=4

nella terza riga abbiamo1+3+3+1= 2³=8

così via fino alla decima riga dove abbiamo 1+10+45+120+210+252+210+120+45+10+1=2¹⁰= 1024

Come nel caso del quadrato magico del Satorla chiave di decifrazione del simbolo non è così immediata e semplice da ottenere ma con qualche piccolo “aiuto” ci si può arrivare. A confermare l’utilizzo del triangolo in forma rovesciata vi è anche Carlo Levi che nel suo libro autobiografico “Cristo si è fermato a Eboli”, in qualità di medico riferisce di aver notato spesso il triangolo dell’Abracadabra rivolto verso l’alto e portato come ciondolo in metallo o come foglietto scaramantico dai contadini della Lucania.

L’importanza del triangolo di Tartaglia è testimoniata dal grande numero di matematici (appartenenti a culture lontane fra loro) che lo hanno studiato nel corso della storia, infatti la costruzione del triangolo di Tartaglia era nota ai matematici cinesi e indiani anteriormente al XIV secolo. In Italia prese il nome da Niccolò Tartaglia, che lo descrisse in un suo diffuso trattato nella prima metà del XVI secolo poi ripreso da Cardano, in Francia e successivamente anche nel mondo anglosassone prende il nome da Blaise Pascal, che un secolo dopo, nel 1654, ne fece grande uso nei suoi studi sulla probabilità. In Germania invece è comunemente attribuito a Michael Stifel che ne scrisse nel 1544.

In questo Pdf (CENNI STORICI) potrete trovare una breve cronistoria degli studi sul triangolo.

Come avevo già accennato sopra, il triangolo di tartaglia contiene un vero tesoro di informazioni matematiche codificate nella sua semplice disposizione geometrica, alcune delle quali sono già state individuate dai matematici, altre rimangono ancora ignote.

APPLICAZIONI MATEMATICHE

Potenza Di Un Binomio

L’applicazione principale del triangolo di Tartaglia è nello sviluppo delle potenze di un binomio.

In matematica si definisce binomio la somma algebrica di due monomi esempio:

(a+b)

Se ad esempio si vuole scrivere lo sviluppo di (a+b)³(a+b)^{4} , è sufficiente andare alla quarta riga del triangolo di Tartaglia per trovare i coefficienti del polinomio risultante (cioè:1,3,3,1), dunque possiamo scrivere:

(a+b)3=1xa3+3x(a2xb)+3x(axb2)+1xb3

Se si vuole scrivere lo sviluppo di (a+b)(a+b)^{4} , è sufficiente andare alla quinta riga del triangolo di Tartaglia per trovare i coefficienti del polinomio risultante (cioè:1,4,6,4,1), dunque possiamo scrivere:

(a+b)4=1xa4+4x(a3x b)+6x(a2xb2)+4x(axb3)+1xb4

Un video che approfondisce l’argomento: (Video)

Per tale motivo, i numeri del triangolo di Tartaglia sono detti anche coefficienti binomiali e sono particolarmente studiati nell’ambito del calcolo combinatorio.

COEFFICIENTE BINOMIALE

Definizione Insiemistica

Se n è un numero naturale e k è un numero naturale compreso tra 0 e n, si indica con il simboloil “coefficiente binomiale n su k”. Una definizione (tra le tante possibili) è la seguente:

Definizione: è il numero di sottoinsiemi di k elementi estratti da un insieme di n elementi.

Per esempio  è il numero di sottoinsiemi di 2 elementi in un insieme di 5 elementi; se tale insieme è {a, b, c, d, e};

i sottoinsiemi da 2 elementi sono 10: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, e}, {b, c}, {b, d}, {b, e}, {c, d}, {c, e}, {d, e}.

QuindiPrime Proprietà

Sia A un insieme che contiene n elementi:

Infatti tale somma è uguale al numero di tutti i sottoinsiemi di A (che costituiscono il cosiddetto insieme delle parti di A); un sottoinsieme B di A si può scegliere in 2n modi diversi, perché per ciascun elemento di A si hanno due alternative possibili: metterlo o non metterlo in B.

ESEMPIO: Se A = {a, b, c, d, e} allora:

1 sottoinsieme da 0 elementi: ∅ (evento impossibile)

5 sottoinsiemi da 1 elemento: {a}, {b}, {c}, {d}, {e}

10 sottoinsiemi da 2 elementi: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, e}, {b, c}, {b, d}, {b, e}, {c, d}, {c, e},{d, e}

10 sottoinsiemi da 3 elementi: {c, d, e}, {b, d, e}, {b, c, e}, {b, c, d}, {a, d, e}, {a, c, e}, {a, c, d},{a, b, e}, {a, b, d}, {a, b, c}

5 sottoinsiemi da 4 elementi: {b, c, d, e}, {a, c, d, e}, {a, b, d, e}, {a, b, c, e}, {a, b, c, d}

1 sottoinsieme da 5 elementi: {a, b, c, d, e}

In tutto 1+5+10+10+5+1 = 32 = 2⁵ elementi

[Le dimostrazioni matematiche delle prime proprietà dei coefficienti binomiali sono presenti in questo link (Link)]

Coefficienti Binomiali Con Il Triangolo Di Pascal

I coefficienti binomiali si costruiscono, riga per riga, mediante il triangolo di Tartaglia (o di Pascal):

La riga n (n = 0, 1, 2, …) contiene gli n+1 coefficienti

Ognuno di essi si ottiene sommando i due coefficienti che gli stanno immediatamente sopra, a destra e a sinistra, nella riga precedente.

Questo si ottiene mediante la formula:

Per esempio: =4+6=10.

Esistono due modi di calcolare aritmeticamente i coefficienti binomiali, di cui uno che sfrutta solo i fattoriali e ci fornisce il numero delle combinazioni semplici:

utilizzando il triangolo:

Quest’ultima definizione mostra chiaramente la Simmetria dei coefficienti binomiali: Operando con i coefficienti binomiali utilizzando questa formula:

Risolvendo i coefficienti binomiali in numeri e utilizzando questa formula:

Il triangolo è simmetrico rispetto all’altezza:

Approfondimenti e fonti: (Link); (Link); (Link); (Link).

CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

La teoria della probabilità nasce, all’inizio del diciassettesimo secolo, dagli studi riguardanti la soluzione di alcuni problemi sorti nei vari giochi d’azzardo, quali ad esempio il gioco dei dadi. I nobili, infatti, facendo di queste attività uno dei propri passatempi preferiti, affidavano ai vari studiosi del tempo il compito di risolvere i loro quesiti a tal proposito. Questo è il motivo che spinge Galileo Galilei a scrivere il libro “Sopra le scoperte dei dadi” del 1596 nel quale, su richiesta del Granduca di Toscana, calcola la probabilità che la somma delle facce di 3 dadi sia uguale ad un certo numero k.

Più tardi il Cavaliere di Méré, famoso giocatore d’azzardo, porrà a Blaise Pascal i seguenti 2 problemi:

è più probabile almeno un 6 lanciando 4 volte un dado o avere almeno una volta il doppio 6 lanciando 24 volte 2 dadi?

-se 2 giocatori ugualmente bravi interrompono un gioco in cui vince per primo chi totalizza un certo punteggio, senza averlo raggiunto, come si divide il premio?

Pascal cerca il consiglio di Fermat e dalla loro corrispondenza nascono le prime leggi della probabilità e il calcolo combinatorio.

Pascal pubblica nel 1654 il Traité du Triangle Arithmétique che parla del Triangolo di Tartaglia; tornano alla ribalta i coefficienti binomiali (già studiati precedentemente da Stifel), indispensabili per risolvere anche i più banali problemi di probabilità.

Una dimostrazione dell’utilità del triangolo nel calcolo delle probabilità è dato dal seguente esempio:

Ammettiamo che si gettino dieci monete; che probabilità c’è che vengano esattamente quattro teste?

L’esito complessivo di dieci lanci di monete può essere simbolicamente rappresentato come una sequenza di lunghezza dieci, per esempio TTCCCTCCTC, dove T significa “testa” e C significa “croce”; tra tali sequenze ve ne sono , ossia 210, che contengono esattamente quattro T, perché ci sono , maniere diverse per scegliere le quattro posizioni (tra le dieci possibili nella sequenza) che vanno occupate dalla lettera T; il numero totale delle sequenze di lunghezza dieci si ottiene addizionando tutti i termini della decima riga del triangolo di Tartaglia, ed è eguale a 1024, ossia a 2^10.

Quindi, se le monete non sono “truccate”, se cioè tutte le sequenze di lunghezza dieci sono egualmente probabili, la possibilità cercata vale:

Il triangolo fornisce la base della teoria del calcolo delle probabilità, ci fornisce il numero delle combinazioni semplici e può essere utilizzato per risolvere problemi di probabilità che ammettano due possibilità come il quesito della moneta avente due facce.

Nel caso del dado avente 6 facce diverse un esempio è questo:

In quanti modi possono apparire 6 dadi quando vengono lanciati? Ogni dado presenta 6 facce diverse. Il numero dei modi in cui essi possono apparire quando vengono lanciati è allora 6x6x6x6x6x6=6^6=46656

Il calcolo delle probabilità si è poi sviluppato per risolvere problemi sempre più complessi (LINK).

In questo sito (Combinatoria) potrete trovare una spiegazione semplice e facilmente comprensibile dei fondamenti del calcolo delle probabilità (cliccando sulle icone con l’immagine di un libro aperto è possibile trovare dei semplici esempi esplicativi).

Triangolo e Probabilità

Un esempio dell’utilizzo del Triangolo per la determinazione delle probabilità è dato dal “problema dell’ubriaco”:

Considerate questa situazione:
Un ubriaco arriva alla porta di una città a pianta quadrata, come da figura

Superata la porta, situata in uno dei vertici della cinta muraria, egli si incammina tra gli isolati, indicati dai quadratini, procedendo a caso e senza mai tornare indietro. E’ come se una persona sobria si proponesse di fare una passeggiata aleatoria lungo la strada decidendo ad ogni incrocio se andare a destra o sinistra, a seconda di aver avuto testa o croce nel lancio di una moneta.

Ci poniamo le domande:

quale probabilità ha l’ubriaco di imboccare la via giusta per tornare a casa?

– l’ubriaco ha uguale probabilità di arrivare in uno dei punti che si trovano allo stesso livello, cioè in uno degli incroci situati nella stessa riga orizzontale, per altro equidistanti dalla porta?

Ed ecco l’attività:

Osserviamo i due triangoli di lettere e di numeri:

La lettera A indica la porta di accesso alla città ed è obbligata, quindi vi è un solo percorso, ma, subito dopo, vi sono due percorsi possibili, uno che porta in B e uno che porta in C: questo risulta chiaro nel triangolo di numeri.
Avanzando, da
B si può andare in D o in E e da C ancora in E oppure in F.
Quindi in
D e in F si arriva con un solo percorso, mentre in E portano due vie.
Al livello successivo, in
G si arriva con un solo percorso, mentre in H si può giungere sia da D che da E, con tre percorsi in tutto, quello che passa per D più i due di E.
Stesso ragionamento per la lettera I
Nel triangolo di numeri sono indicati i percorsi che portano in ciascun punto (
casi favorevoli), mentre la tabella a fianco riporta i percorsi complessivi di ogni riga (casi possibili) (la somma dei termini di ogni riga…), che raddoppiano ad ogni incrocio secondo le potenze di 2, ogni volta che la strada si biforca.
Il rapporto tra il numero dei percorsi che conducono in ciascun punto e il numero dei percorsi possibili di ogni riga ci dà la
probabilità.
Così la probabilità di giungere in B = 1/2; in D = 1/4; in H = 3/8
Con questo particolare modo di procedere a caso, dove è più probabile giungere, nei punti centrali della città o in quelli periferici?
Osservate con attenzione il triangolo di numeri!
La
rappresentazione grafica con istogrammi delle probabilità di raggiungere i vari punti di uno stesso livello, approssima sempre meglio una curva normale (Curva a campana o di Gauss) man mano che si considerano livelli con un maggior numero di percorsi possibili.
Ad esempio, al livello degli incroci
M, N, O, P, Q, le probabilità corrispondenti sono rispettivamente 1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/16 e si ha il grafico:

Questo problema è tratto da uno dei Laboratori de l’Officina matematica, “ragionare con i materiali” il libro che raccoglie le lezioni della più grande ricercatrice italiana di didattica della matematica, Emma Castelnuovo e documenta l’esperienza delle attività laboratoriali presso la casa-laboratorio di Cenci. Nota: il laboratorio, il cui titolo completo è: “Dal “problema dell’ubriaco” alla teoria dell’evoluzione di Darwin”, riportato sul testo di Emma Castelnuovo, come il titolo stesso lascia intuire, si amplia con numerose altre esperienze da poter proporre ai ragazzi

Fonte: matematicamedie.blogspot.com

Triangolo e Macchina di Galton

È possibile avere una dimostrazione pratica del problema illustrato sopra tramite la “macchina di Galton”, un dispositivo che permette di visualizzare e confermare la validità del Triangolo di Tartaglia nel determinare le probabilità:

La macchina di Galton (detta anche “scatola di Galton”, o “quinconce”) è un dispositivo inventato da Sir Francis Galton per fornire una dimostrazione pratica del teorema del limite centrale e della distribuzione normale.

Consiste in un piano verticale, sul quale sono piantati perpendicolarmente dei chiodi (o pioli) posizionati secondo la configurazione del quinconce (ossia come la rappresentazione del numero 5 sulla faccia di un comune dado da gioco). Da una fessura, posta in cima a tale piano, vengono fatte cadere delle palline (le quali, urtando i chiodi, si dirigono verso destra o verso sinistra). Sul fondo sono collocati dei contenitori cilindrici, dove le palline si depositano l’una sull’altra, formando delle pile. Al termine dell’esperimento, le altezze di queste pile assumono approssimativamente la forma di una curva a campana, tipica delle variabili casuali normali.

Sovrapponendo un triangolo di Tartaglia alle teste dei chiodi, si può intuire la probabilità con cui una pallina può seguire i diversi percorsi per passare attraverso i chiodi.

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHEFonte: Wikipedia

Dopo quanto scritto sopra riguardo al calcolo delle probabilità ed all’utilizzo del Triangolo per determinarle nei casi in cui si operi una serie di scelte che ammettano solo due soluzioni (destra-sinistra, vero-falso, si-no, bianco-nero, ecc.), ho maturato la convinzione che il triangolo possa essere utilizzato calcolare le probabilità che determinati Effetti si verifichino in conseguenza di una Causa che li ha generati; cercherò di spiegarmi meglio.

In un Mondo Duale come questo in cui ci manifestiamo, per ogni decisione che prendiamo ci troviamo davanti a solo due possibili opzioni (anche se apparentemente possono sembrare molte di più), possiamo definirle come Luce ed Oscurità, senza voler dare a questi termini un significato morale.

Una volta presa la nostra decisione imbocchiamo un sentiero simile a quelli presenti nella macchina di Galton, questo ci porterà ad un nuovo bivio ed ad una nuova scelta da effettuare. Da questo bivio arriveremo ad uno successivo, qui ancora una scelta duale e così via attraverso una serie ripetuta di scelte. Questa è la dinamica della Causa-Effetto nei Mondi Duali, da una determinata causa possono scaturire infiniti effetti.

Il Triangolo ci permette ci calcolare per ogni livello successivo di scelta le probabilità di optare per un determinato effetto rispetto agli altri disponibili in tale livello.

Il Triangolo è uno strumento che ci permette di prevedere l’evoluzione futura di qualsiasi evento manifestato in un mondo duale.

Considerazioni sul calcolo delle probabilità

Per quanto possa essere affascinante il calcolo delle probabilità e la determinazione delle possibilità, bisogna ricordare che si tratta di probabilità e non di certezze.

Ad esempio, puntando su di un numero scelto fra i 90 componenti il gioco della “roulette” abbiamo una possibilità di vincita su 90 per ogni estrazione. È comunque possibile che dopo 90 estrazioni consecutive il numero su cui abbiamo puntato non sia ancora uscito, è poco probabile ma possibile.

Allo stesso modo, quante probabilità ci sono che in tre estrazioni consecutive esca lo stesso numero per tre volte?

Infinitamente poche ma può accadere, anche se è estremamente improbabile è comunque possibile!

Uno dei risultati elementari dimostrati dall’odierna teoria delle Martingale è proprio l’inesistenza di un sistema di scommesse vincente

Quanto espresso riguardo al gioco d’azzardo è comunque applicabile a qualunque situazione possibile in cui si debba effettuare una scelta.

Una ferma volontà ben diretta unita alla capacità di focalizzare costantemente il pensiero su di una determinata possibilità possono far realizzare tale possibilità aldilà di qualsiasi stima di probabilità.

PROPRIETÀ NUMERICHE E DI COSTRUZIONE

SUCCESSIONI DI INTERI

Nel triangolo di Tartaglia, oltre ai coefficienti binomiali, si individuano anche altre Successione di interi positivi:

NUMERI NATURALI TRIANGOLARI TETRAEDRICI

Ogni diversa linea diagonale del triangolo rappresenta una successione di numeri n-topici: la diagonale k=1 i numeri naturali, la diagonale k=2 i numeri triangolari e così via.

Per comodità il triangolo può essere rappresentato in questa configurazione per individuare più facilmente le successioni di numeri:

La prima colonna del Triangolo di Tartaglia è composta dalla successione dei numeri naturali n, la seconda dai numeri triangolari n(n+1)/2, la terza dai numeri tetraedrici n(n+1)(n+2)/2×3, la quarta i numeri ipertetraedrici (pentatopici) n(n+1)(n+2)(n+3)/2x3x4, cioè del tetraedro in quattro dimensioni, la quinta del tetraedro in cinque dimensioni n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/2x3x4x5 e così via.

Numeri Naturali

La sequenza dei numeri naturali è evidenziata nella foto sopra, essendo il triangolo simmetrico rispetto all’asse centrale è possibile leggere queste successioni in ognuna delle due metà del triangolo.

Numeri Triangolari

La sequenza dei numeri triangolari è evidenziata nella foto sopra, ogni numero triangolare rappresenta una somma finita dei numeri naturali.

Numeri Tetraedrici

La sequenza dei numeri tetraedrici è evidenziata nella foto sopra.

Il Numero Tetraedrico è un numero figurato che forma una piramide con una base triangolare a tre lati, chiamata Tetraedro.

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHEL’ennesimo numero tetraedrico rappresenta una somma finita di numeri triangolari.

Numeri Pentatopici

La sequenza dei numeri pentatopici è evidenziata nella foto sopra.

Un numero pentatopico è un numero figurato che rappresenta un pentatopo, l’analogo nello spazio quadridimensionale del triangolo bidimensionale e del tetraedro tridimensionale. I primi numeri pentatopici sono: 1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, 1365, 1820, 2380, 3060, 3876, 4845.

Numeri Esagonali

Anche i numeri esagonali sono presenti nel triangolo.

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHEUn numero esagonale è un numero poligonale. I primi 30 numeri esagonali sono: 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190,231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780,861, 946, 1035, 1128, 1225, 1326, 1431, 1540, 1653, 1770.

SUCCESSIONE DI FIBONACCI E NUMERO AUREO PHI

Dal triangolo si possono ricavare i numeri della successione di Fibonacci sommando i numeri posti sulle diagonali evidenziate come nella figura:

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHELa successione di Fibonacci (detta anche successione aurea), in matematica indica una successione di numeri interi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti, eccetto i primi due: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,…..

Relazione tra la successione di Fibonacci e numero φ

Fra le molte proprietà della successione di Fibonacci c’è ne una che la lega al numero aureo Phi Φ 1,618.

Procedendo lungo la successione di Fibonacci, il rapporto tra un termine e il suo precedente oscilla intorno al numero Φ: 1,0 – 2,0 – 1,5 – 1,666 – 1,6 – 1,625 – 1,615 – 1,619 – 1,617 – 1,6181 – 1,6180 …

Allo stesso modo dividendo un numero della sequenza per il successivo si ottiene il rapporto 1/Φ=0,618:

Tramite la sequenza è possibile costruire una particolare spirale logaritmica detta “Spirale Aurea”:

Costruendo una serie di quadrati aventi come lato i numeri della sequenza:

Unendo due angoli opposti con degli archi di circonferenza che hanno come raggi i lati dei quadrati:

Otteniamo la “Spirale Aurea”, tale processo è possibile anche utilizzando dei triangoli o dei rettangoli aurei.

NUMERI DI LUCAS

La sequenza di Lucas è una sequenza ricorsiva correlata ai numeri di Fibonacci (Link). I numeri di Lucas hanno proprietà speciali legate ai numeri primi e al rapporto aureo (Link).

la successione di Lucas, indicata con Ln è una successione di numeri interi positivi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti e i primi due termini della successione sono, per definizione, L1=2 e L2=1. Questa successione ha quindi una definizione ricorsiva secondo la regola: Ln = ln-1+ln-2

i primi quindici termini della successione di Lucas sono: 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521 843 1364.

I numeri di Lucas possono anche essere trovati sommando due numeri non consecutivi della serie di Fibonacci come nell’esempio:

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHE4 (Lucas)=3+1(Fibonacci)

7 (Lucas)=5+2(Fibonacci)

11 (Lucas)=8+3(Fibonacci)

18 (Lucas)=13+5(Fibonacci)

29 (Lucas)=21+8(Fibonacci)

è possibile utilizzare le diagonali di Fibonacci del triangolo per trovare i numeri di Lucas in questo modo:

Per esempio:

(1 + 3 + 1) + (1 + 5 + 6 + 1) = 18 = L6

Fibonacci Lucas Pell

Nel Pdf presente a questo indirizzo (Link) potete trovare un’analisi dei rapporti che intercorrono fra il Triangolo e i numeri di Fibonacci, di Lucas, di Pell e di Pell-Lucas con i relativi procedimenti per calcolarli utilizzando le diagonali del Triangolo.

È presente anche un altro modo per trovare i numeri di Lucas utilizzando le diagonali di Fibonacci del triangolo, ad esempio con la diagonale L7:

possiamo trovare 29, ottavo numero della serie di Lucas utilizzando la formula:

Diagonale L6=6/6x(1)+6/5x(5)+6/4x(6)+6/3x(1)=1+6+9+2=18 settimo numero di Lucas.

Lucas con triangoli diversi

In questo video (video– youtube) viene illustrato il modo di trovare la sequenza di Lucas e di Fibonacci utilizzando il triangolo in una diversa configurazione numerica.

In questo testo (feinberg) (Link) è presente un modo per trovare la sequenza di Lucas utilizzando un triangolo generato da un diverso coefficiente di espansione, il triangolo ottenuto viene definito “Triangolo di Lucas”. Nel documento sono illustrate alcune delle peculiari caratteristiche di questo triangolo tra cui un metodo per ottenere la sequenza di Fibonacci.

Diagonali come Colonne

L’ennesimo metodo per trovare la sequenza di Lucas consiste nel disegnare il Triangolo in una forma alternativa dove le diagonali sono riallineate come colonne e le somme di queste colonne sono i numeri di Fibonacci (Link):

Utilizzando questa forma del triangolo è possibile trovare i numeri di Lucas con il seguente metodo: ogni termine in un determinata colonna va prima moltiplicato per il suo numero di colonna e poi diviso per il suo numero di riga, sommando i risultati di queste moltiplicazioni e divisioni abbiamo il numero di Lucas corrispondente al numero di colonna. Ecco un esempio:
Prendiamo la
terza colonna, i termini sono 1 e 2, disposti rispettivamente sulla terza e seconda riga:
1 x colonna / riga = (1 x 33 = 1

2 x colonna / riga = (2 x 3)÷2 = 3

Sommando 1+3=4 che è il terzo numero della serie di Lucas.

Un altro esempio con la colonna 4:

1 x colonna / riga = (1 × 4)÷4 = 1

3 x colonna / riga = (3 × 4)÷3 = 4

1 x colonna / riga = (1 × 4)÷2 = 2

Sommando 1+4+2= 7 che è il quarto numero della serie di Lucas

Nella foto seguente il triangolo tramite l’uso dei colori mostra più facilmente lo schema nei moltiplicatori e divisori:

NUMERI CATALAN

In matematica, i Numeri di Catalan formano una successione di numeri naturali utile in molti calcoli combinatori. Prendono il nome dal matematico belga Eugène Charles Catalan. I primi 25 numeri di Catalan sono: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324.

Il triangolo di Tartaglia è simmetrico rispetto alla sua altezza, se si traccia l’altezza del triangolo si può osservare che i vari numeri si corrispondono per simmetria assiale.

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHEI numeri posti sull’asse centrale sono: 1,2,6,20,70,252,924,3432,12870,48620…., dividendo rispettivamente questi numeri per: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10…. otteniamo una nuova successione di numeri:1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862….; questi sono appunto i numeri della successione di Catalan.

A questo indirizzo (Link) potete trovare almeno cinque modi diversi di trovare la serie di Catalan nel triangolo mediante operazioni di sottrazione e somma.

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHEPASCAL E NUMERI PRIMI

Nel suo libro, Pascal riporta una formula che consente di ricavare un termine qualsiasi del triangolo, data la sua posizione. Si conti il numero delle righe e delle colonne a partire da zero, cioè l’1 iniziale sia la riga zero e la colonna di 1 sia la colonna zero. Si noti che, se non si considerano gli zeri (per altro non scritti), la riga r contiene, al più, elementi di r+1 colonne, e quindi s, il numero della colonna, è minore o uguale a r+1. Questo impedisce a n di essere negativo.

Il triangolo nella configurazione di Pascal, a “triangolo rettangolo”, una forma che consente, per certe proprietà, un’analisi migliore delle righe e delle colonne

Ad esempio il termine della settima riga, terza colonna è: (7×6×5)÷(1×2×3)=35

Si noti invece che il termine dell’ottava colonna e quinta riga non esiste (o è zero). Pascal osservò ancora che quando nella prima colonna del triangolo compare un numero primo, e solo in questo caso, tutti i termini della riga corrispondente, tranne il primo e l’ultimo, sono multipli di tale numero o divisibili per esso. Ad esempio, nella settima riga, a parte l’1 iniziale e quello finale, tutti i termini sono multipli di 7.

Fonte: Progetto Polymath

NUMERI PRIMI DI FERMAT

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHETramite il Triangolo è possibile ricavare la sequenza dei Numeri di Fermat. I numeri di Fermat appaiono in contesti a prima vista completamente non correlati. Ad esempio, Gauss dimostrò che si possono fare le costruzioni con riga e compasso dei poligoni regolari con n lati se e solo se n è il prodotto di una potenza di 2 per un prodotto finito di numeri di Fermat primi e distinti.

In un sistema numerico binario, tutti i numeri di Fermat sono palindromi (3=11; 5=101; 17=10001; 65537=10000000000000001), e tutti i primi di Fermat sono quindi palindromi primi. È appunto tramite il sistema binario che possiamo ottenere i numeri di Fermat dal Triangolo.

Se riscriviamo il triangolo sostituendo a tutti i numeri dispari degli uno e a tutti i numeri pari degli zero otteniamo questa figura:

Poi interpretando le righe del triangolo come dei numeri binari:

Otteniamo la sequenza dei numeri di Fermat; video esplicativo:

Link: https://www.youtube.com/watch?v=0iMtlus-afo

SOMMA DELLE RIGHE

1 = 1 = 2⁰

1 + 1 = 2= 2¹

1 + 2 + 1 = 4= 2²

1 + 3 + 3 + 1 = 8= 2³

1+ 4 + 6 + 4 + 1 =16= 2⁴

1+5+10+10+ 5+1 =32= 2⁵

La somma dei termini di ogni riga è la successione delle potenze del 2. Si può anche dire che la somma dei termini di ogni riga è il doppio della somma dei termini della riga precedente e che la somma dei termini di ogni riga, diminuita di 1, è uguale alla somma dei termini di tutte le righe che lo precedono. Ad esempio, la somma dei termini della sesta riga è 32, e la somma di tutti i termini delle righe precedenti è 32-1=1+2+4+8+16+=31

NUMERI MERSENNE

In matematica un Numero primo di Mersenne è un numero primo inferiore di uno rispetto ad una potenza di due. È quindi esprimibile come: Mp=2p-1; con p intero positivo primo. Tale numero p è talvolta indicato come esponente di Mersenne.

Si noti che non tutte le potenze di due meno uno (2n-1) sono dei numeri primi e quindi non tutti gli esponenti di due che sono numeri primi (esponenti primi) corrispondono a un esponente di Mersenne. Ad esempio 2¹¹-1 (11 è un numero primo) è uguale a 2047 che non è un numero primo (2047=23×89) quindi non è un numero primo di Mersenne.

I primi dodici numeri primi di Mersenne sono:

Come abbiamo illustrato sopra sommando ogni singolo numero nelle prime n righe, il numero ottenuto può essere l’ennesimo numero di Mersenne.

Ad esempio, sommando tutti i numeri nelle prime 5 righe del triangolo 1+1+1+1+2+1+1+3+3+1+1+4+6+4+1=31; 31 corrisponde a M5 (2^5-1), numero di Mersenne.

Allo stesso modo sommando i termini delle prime 7 righe otteniamo 127 che corrisponde a M7 (2^7-1), numero di Mersenne.

DIFFERENZA NELLE RIGHE

Si può notare che:

1 – 1 = 0

1 – 2 + 1 = 0

1 – 3 + 3 – 1 = 0

1 – 4 + 6 – 4 + 1 = 0

La somma dei numeri nei posti dispari (1°, 3°, 5°,…) meno la somma dei numeri nei posti pari (2°, 4°, 6°,…) dà zero. Per le righe con un numero pari di elementi, questo è ovvio in quanto il triangolo è simmetrico.

QUADRATO NUMERI NATURALI

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHEOgni numero naturale sulla prima diagonale (1,2,3,4,5,6,7,…) può trovare il suo quadrato nella somma dei due numeri triangolari adiacenti presenti nella diagonale dei numeri triangolari. Esempio:

5²= 10+15=25

11²=55+66=121

15²=105+120=225

Questo perché geometricamente ogni numero quadrato può essere ottenuto sommando due numeri triangolari consecutivi.

A questo indirizzo (Link) sono presenti tre modi diversi di trovare i quadrati dei numeri naturali.

IDENTITÀ DEL PETALO DI FIORE O DELL’ESAGONO

Scegliendo un numero qualsiasi all’interno del Triangolo ed considerando i sei numeri che lo circondano possiamo osservare che moltiplicando tali numeri fra di loro a gruppi di tre non consecutivi otteniamo lo stesso risultato, ad esempio:

Numero 3

2×6×1=12

4×3×1=12

Numero 6

21×5×1=105

7×15×1=105

Numero 15

21×5×20=2100

6×35×10=2100

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHECUBO NUMERI NATURALI

La proprietà del triangolo descritta sopra diviene estremamente importante per ottenere il cubo di un numero naturale qualsiasi utilizzando il triangolo stesso.

Se infatti sommiamo fra di loro i prodotti dei due gruppi di tre numeri ed aggiungiamo il numero centrale otteniamo il valore di questo numero elevato al cubo.

Ecco alcuni esempi:

Numero 3

(2×6×1)+(4×3×1)+3=27=3³

Numero 6

(21×5×1)+(7×15×1)+6=216=6³

Numero 8

(28×9×1)+(7×36×1)+8=512=8³

Numero 10

(45×11×1)+(9×55×1)+10=1000=10³

Questa proprietà è valida solo per i numeri che si trovano su di una delle due diagonali dei numeri naturali.

NUMERI ELEVATI A SE STESSI

Tramite il triangolo di tartaglia è possibile calcolare qualsiasi numero naturale elevato a se stesso come potenza, ad esempio: 3^3; 4^4, 5^5; 6^6, 7^7, 8^8; .…

Questo è possibile tramite la formula:

Con il triangolo:

visivamente

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHEEsempi:

4^4=256

4!×(4×6×4×1)=2304

2304÷(3×3×1)=256

5^5=3125

5!×(5×10×10×5×1)=300000

300000÷(4×6×4×1)=3125

8^8=16777216

8!×(8×28×56×70×56×28×8×1)=4,441101042×10¹⁴

4,441101042×10¹⁴÷(7×21×35×35×21×7×1)=16777216

POTENZE DI INTERI NATURALI

Il ricercatore Tony Foster ha individuato un metodo che consente di calcolare le potenze di un numero intero naturale utilizzando le diagonali del triangolo. Il metodo è illustrato nella foto seguente:

Nella foto le diagonali dei numeri da elevare a potenza sono indicate in maniera tale da generare confusione , sarebbe più corretto considerare la prima diagonale come colonna uno, la seconda come colonna due (numero 2), la terza colonna tre (numero 3), ecc.

Volendo fare un ulteriore esempio utilizzando la formula descritta nella foto sopra, possiamo calcolare tre elevato alla quinta (3⁵):

3⁵=243

5!×(1×3×6×10×15×21)=6804000

6804000÷(1×4×10×20×35)=243

Link: Integer Powers

Osservazione: Il metodo sopra descritto pur funzionando in maniera corretta, nel caso di numeri molto grandi da elevare a potenza, diviene ingestibile per le dimensioni dei numeri che si vanno ad utilizzare. Ad esempio 22 elevato alla decima richiederebbe di utilizzare dei numeri già molto grandi che poi moltiplicati fra di loro diverrebbero difficilmente calcolabili senza le moderne tecnologie (computer, calcolatori).

POTENZE DI 11

È possibile leggere le potenze del numero undici immediatamente nelle prime righe del triangolo:

11⁰=1

11¹=11
11² = 121
11³ = 1331
11⁴= 14641

Ma dopo la quinta riga e oltre richiede di addizionare i coefficienti in maniera opportuna, tenendo conto dei riporti:

11⁵= 161051 è diverso da: 1 5 10 10 51, quindi: 1(5+1)(0+1)051= 161051

si può procedere allo stesso modo per altre potenze di 11:

Nella riga 6

1615201561 = 1(6+1)(5+2)(0+1)561 = 1771561 = 11⁶

11^7=19487171

Questo metodo funziona fino a che la prima cifra diventa un due, poi non più.

11^8=214358881

Somma di Distinte Potenze di Dieci

Un metodo efficace per trovare le potenze di undici in una riga del triangolo è di sommare ogni singolo termine della riga moltiplicato per una delle potenze di 10 in ordine crescente:

riga n=0

(1×10⁰)=1×1=1

11⁰=1

riga n=1

(1×10⁰)+(1×10¹)=1+10=11

11¹=11

riga n=2

(1×1)+(2×10)+(1×100)=121

11²=121

riga n=6:

(1×1)+(6×10)+(15×100)+(20×1000)+(15×10000)+(6×100000)+(1×1000000)=1771561

11⁶=1771561

riga n=7:

1+70+2100+35000+(35×10000)+(21×100000)+7000000+10000000=19487171

11⁷=19487171

riga n=8:

1+80+2800+56000+700000+5600000+28000000+80000000+100000000=214358881

11⁸=214358881

video esplicativo:

Link: https://www.youtube.com/watch?v=0iMtlus-afo

Potenze Di Undici E Di Altri Numeri

Le “prime” potenze di 11, quelle di 101, e in generale quelle della somma di due distinte potenze di 10, si possono “leggere” sulle prime righe del triangolo di Tartaglia:

negli esempi (10+1), (100+1) e (10+0,1)

Nelle potenze di 1001^n, come nelle potenze di 10001^n ,100001^n, … ritornano i numeri del triangolo, separati dagli zeri.

SOMMA DEI QUADRATI DEGLI ELEMENTI DI UNA RIGA

La somma dei quadrati degli elementi della riga n è uguale all’elemento centrale della riga 2n.

Ad esempio la somma dei quadrati della quarta riga (n=4): 1² + 4² + 6² + 4² + 12² = 70; è uguale a 70 elemento centrale dell’ottava riga (n=8)

allo stesso modo 1²+5²+10²+10²+5²+1² somma dei quadrati della quinta riga (n=5); è uguale a 252 elemento centrale della decima riga (n=10).

MAZZA DA HOCKEY

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHESe sommiamo i numeri di una diagonale, a partire da un qualsiasi 1 sul contorno, qualsiasi sia la posizione in cui ci fermiamo il risultato di tale somma sarà uguale al numero adiacente alla diagonale che si trova nella riga successiva a quella in cui ci si è fermati:

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHEQuesta proprietà viene chiamata comunemente con il nome di “Identità della mazza da hockey”, per analogia con la forma assunta evidenziando gli addendi e il risultato in diagonale.

L’identità del bastone da hockey ha un semplice significato combinatorio. Il numero del triangolo che si trova nella riga n (n=0,1,2…) e posto k (k=0,1,..,n), che indico con C(n,k) rappresenta il numero di sottoinsiemi di k elementi di un insieme di n elementi.

Nell’esempio l’identità diventa C(9,4)=C(8,4)+C(7,3)+C(6,2)+C(5,1)+C(4,0), che si può generalizzare in modo ovvio.

COSTANTE DI EULERO

La presenza della costante ℮, detta di Eulero, può essere rilevata nelle schema del Triangolo utilizzando il prodotto di tutti i termini che fanno parte di ogni singola riga.

mediante la seguente formula otteniamo un numero che approssima la costante di Eulero:

dove Sn è il prodotto di tutti i termini di una riga, Sn-1 è il prodotto di tutti i termini della riga che la precede e Sn+1 è il prodotto di tutti i termini della riga che la segue.

Ad esempio:

(9×2500)÷96²=2,44140625

(162000×96)÷2500²=2,48832

continuando così i risultati approssimeranno sempre di più il valore della costante ℮.

Fonte: LINK

PHI GRECO E IL TRIANGOLO

La presenza di π phi greco può essere rilevata nello schema del triangolo tramite almeno due distinte dimostrazioni. Una utilizza la modifica effettuata da Daniel Hardisky alla serie numerica di Nilakantha Somayaji ed opera nel seguente modo:

la dimostrazione può essere più facilmente compresa utilizzando i coefficienti binomiali

Approfondimento: LINK

Una seconda dimostrazione rilevata da Jonas Castillo Toloza utilizza i reciproci dei numeri triangolari, la cui serie è presente nelle terza diagonale del Triangolo:

utilizzando i coefficienti binomiali:

Un’osservazione importante è che questa serie presenta una convergenza assoluta, il che implica che la sua somma è indipendente dall’ordine dei termini: rimane la stessa in tutti i riarrangiamenti della serie.

Approfondimento: LINK

Non si può comunque escludere la possibilità che esistano altre dimostrazioni della presenza di π nello schema del triangolo o che questo possa essere ricavato mediante operazioni algebriche.

SOMMA DI TANGENTI

È possibile utilizzare il triangolo anche in alcune applicazioni della trigonometria tra le quali la Somma di Tangenti.

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHEInnanzitutto impostiamo [T] come valore della {tangente di [Theta]}:

T=tanӨ

la formula della somma di tangenti:

ora sostituiamo nella formula di somma di tangenti {[Alpha] = [Theta]} e {[Beta] = [Theta]} ed otteniamo:

Per {Tangente di [3×Theta]}, possiamo usare {[Alpha] = [2×Theta]} e {[Beta] = [Theta]} ed otteniamo:

operando in questo modo otteniamo:

si nota che i coefficienti del nominatore e i coefficienti nel denominatore sono sempre termini della stessa riga del Triangolo.

Un esempio con tan8Ө:

possiamo notare che i coefficienti al numeratore ed al denominatori sono termini della riga 9 nella foto seguente:

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHEA questi indirizzi è presente uno studio completo di dimostrazioni; (Link); (Link); (Link); (Link).

PIRAMIDE DI TARTAGLIA

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHEIn matematica, la piramide di Tartaglia è una disposizione tridimensionale dei numeri trinomiali, che sono i coefficienti dell’espansione trinomiale e della distribuzione trinomiale. La piramide di Tartaglia è l’analogo tridimensionale del triangolo di Tartaglia bidimensionale, che contiene i numeri binomiali e si riferisce all’espansione binomiale e alla distribuzione binomiale. I numeri binomiali e trinomiali, i coefficienti, le espansioni e le distribuzioni sono sottoinsiemi dei costrutti multinomiali con gli stessi nomi.

La Piramide di Tartaglia, è un tetraedro che ha come numero generatore, al vertice, 1. Ogni altro numero è la somma dei tre numeri che si trovano al livello immediatamente superiore

Dalla piramide è possibile ricavare i coefficienti delle potenze di un trinomio. Ad esempio, al quarto livello ritroviamo i coefficienti della quarta potenza del trinomio:

Si può intuire che sviluppando l’idea del triangolo oltre la terza dimensione, in generale a uno spazio a n dimensioni, si potranno ricavare i coefficienti delle potenze di un qualsiasi polinomio di n termini.

Considerando che il tetraedro è un oggetto tridimensionale risulta complesso rappresentarlo su un foglio di carta o sullo schermo di un computer. Si consideri allora il tetraedro come suddivisibile in diversi piani o livelli di lettura. Il primo livello, corrispondente al vertice della piramide, corrisponderà al “livello 0”. Ogni livello sottostante può essere immaginato come una proiezione vista dall’alto del tetraedro privato dei piani superiori. Di seguito sono evidenziati i primi sei livelli:

La piramide possiede numerose proprietà matematiche, alcune di queste sono in stretta relazione con analoghe possedute dal Triangolo. Una selezione è presente a questo indirizzo (Link).

TRIANGOLI DI MULTIPLI DI N

Dato un numero n fissato, i numeri del triangolo che siano suoi multipli interi formano dei nuovi triangoli con il vertice in basso, oppure dei punti isolati, che sono ovviamente anch’essi dei triangoli di lato unitario. Tali triangoli non si intersecano, né sono adiacenti.

Ad esempio, evidenziamo all’interno del triangolo i numeri pari (multipli di 2):

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHEi numeri che sono multipli di 3:

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHEi numeri che sono multipli di 4:

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHEi numeri che sono multipli di 5:

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHESIERPINSKI

Una caratteristica del Triangolo riportata da molte fonti, è la sua relazione con la costruzione frattale chiamata triangolo di Sierpinski. Colorando in maniera diversa i numeri pari e dispari presenti nel triangolo si forma una figura che apparentemente ricorda il frattale di Sierpinski. In realtà funziona in modo esattamente opposto.

Mentre il triangolo di Sierpinski è una costruzione spaziale che riduce sempre di più le dimensioni dei suoi triangoli fino a farli diventare infinitamente piccoli, ripartendo così lo spazio in maniera frattale (PDF frat).

Il triangolo di Tartaglia è una costruzione numerica e nella espansione della sua rappresentazione grafica (isolando i numeri pari dai dispari) possiamo notare la proliferazione dei triangoli presenti al suo interno.

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHEÈ mia opinione che la presenza di questi triangoli nella costruzione di Tartaglia possa essere un Easter egg dei tanti che il Logos creatore ha disseminato qua e là nella sua Creazione ed in particolare celandoli nelle leggi che regolano tale manifestazione.

Considerazioni Sulle Proprietà Del Triangolo

In questo testo sono presenti una quantità considerevole di proprietà matematiche reperibili nel Triangolo. È comunque una certezza che non tutte le applicazioni del triangolo siano ancora state scoperte. Nonostante il Triangolo (in varie configurazioni) sia conosciuto da oltre un millennio, riserva nuove sorprese alle migliaia di matematici che attualmente lo continuano a studiare. Ogni volta che una nuova branca della matematica viene esplorata, viene rilevata la possibilità di un qualche utilizzo del triangolo in essa.

La Conoscenza si espande costantemente e la Ricerca è sempre possibile, il Triangolo è forse il simbolo di questa costante possibilità di Ricerca.

CONCLUSIONI

I Simboli cosiddetti “Magici”, l’Abracadabra come il Sator o la Vescica Piscis, racchiudono straordinarie conoscenze scientifiche codificate in modo da preservarle da un uso improprio, consapevole o inconsapevole, da parte di coloro che non siano abbastanza evoluti per utilizzarle. La loro efficacia come elemento “magico” nel campo della guarigione o della “protezione” da situazioni avverse, deriva proprio dalle conoscenze scientifiche celate in loro; conoscenze che provengono dalle cosmiche Leggi del Logos e con queste sono in risonanza.

I cosiddetti “maghi” possono procurarsi grandi vantaggi dall’impiego di questi simboli pur non conoscendo pienamente il loro significato, ma un Maestro istruito nei loro segreti e guidato da spirito disinteressato nel loro utilizzo, può portare benefici immensi a molti, addirittura ad un’intera Unità di Coscienza.

Thoth nella Tavola X delle tavole smeraldine afferma:

Ascoltate e comprendete, oh figli miei. La Magia è conoscenza ed è solo Legge. Non siate impauriti del potere che è in voi, perché segue la Legge come le stelle nel cielo.

Sappiate che, per chi è senza conoscenza, la saggezza è magia e non Legge. Ma sappiate che sempre, con la conoscenza, potete arrivare più vicini ad un luogo nel Sole.

Ascoltate, figli miei, e seguite il mio insegnamento. Siate sempre ricercatori di Luce.

Splendete nel mondo degli uomini intorno a voi, come una Luce sul cammino che splenderà tra gli uomini.

Seguite ed imparate la mia magia. Sappiate che tutta la forza è vostra, se volete. Non temete il cammino che vi conduce alla conoscenza, piuttosto vi eviterà la via oscura”.

ABRACADABRA SIGNIFICATO E PROPRIETÀ NUMERICHEScienze quali la matematica, l’astronomia, la geometria e la fisica derivano dalla numerologia, dall’astrologia, dalla geometria sacra e dalla metafisica, in passato non vi era la separazione nella Conoscenza che sperimentiamo adesso, conoscenza intuitiva e razionale erano tutt’uno e come tale venivano studiate e comprese.

Il dottor Nassim Haramein concorda e dichiara:”La Spiritualità è la Fisica che non è ancora stata compresa”.

È mia convinzione che entro breve l’umanità terrestre ritornerà a questo stato di unificazione anche nella conoscenza. Il lavoro di ricerca e divulgazione che svolgo è nelle mie intenzioni, un contributo al raggiungimento di tale unificazione.

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